一、多项式及其表示法
在数学中，多项式是由一些系数和变量的乘积组成的表达式。例如，$f(x)=3x^2+2x-1$就是一个二次多项式，其中$x$是变量，$3$、$2$和$-1$是系数。
多项式可以用不同的表示法来表示，最常见的有以下两种：
1. 系数表示法：将多项式按照系数从高到低排列，例如$f(x)=3x^2+2x-1$可以表示为$(3,2,-1)$。
2. 多项式表示法：将多项式按照每一项的指数和系数排列，例如$f(x)=3x^2+2x-1$可以表示为$(2,3),(1,2),(0,-1)$。
二、多项式的度
多项式的度是指多项式中最高次项的次数。例如，$f(x)=3x^2+2x-1$的最高次项是$x^2$，因此它的度为$2$。
多项式的度对于多项式的运算和求解都有很重要的作用。例如，在多项式加减法中，只有当两个多项式的次数相同时才能进行运算；在多项式求根问题中，多项式的次数决定了多项式的根的个数。
三、环和伽罗华域的概念和原理推导
环是一种抽象代数结构，它包含了加法和乘法两个二元运算，并满足一定的公理。一个环必须满足以下四个条件：
1. 加法和乘法都是封闭的。
2. 加法满足交换律、结合律和存在零元素。
3. 乘法满足交换律、
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